Какую функцию

Содержание

Какую функцию в клетке выполняют липиды в организме животных: какие вещества относятся, их состав

Какую функцию

Клетки любого организма содержат в себе достаточно большое количество различных элементов. В клетку животного входят липиды – это соединения органического характера, в чьем составе находятся желчные кислоты, спирты и многие другие химические элементы.

Они выполняют крайне важную задачу в физиологии животных и людей. Какую функцию выполняют липиды в организме?

Человек самостоятельно синтезирует основные виды этих веществ в печени (7-14%) и тонком кишечнике.

Они находятся во всех частях человеческого тела в разных количествах, переносясь вместе с кровяными тельцами, особенно много их в жировой и нервной ткани.

У животных и людей жиры находятся в тканях, а из растительного мира ими богаты подсолнечник, авокадо и арахис.

Основные понятия

Липиды — это соединения со сложной структурой, которые состоят из множества отдельных химических элементов, и для простого понимания могут называться жирами.

Говоря простым языком, это обобщающее называние для растительных и животных жиров, холестеринов, гормонов и терпенов.

Они маслянистые и не могут раствориться в обычной воде, но вполне растворимы в других вариациях жидкостей.

Важно! Каждая группа соединений имеет свой состав липидов, отличный от других подобных им.

Классификация

Существует несколько видов, классифицируемых по различным характеристикам. Самая популярная из них – это разделение в зависимости от способности молекул растворятся в простом водороде:

  • Омыляемые – их можно растворить водой и разложить на отдельные продукты (воск);
  • Не омыляемые – их нельзя подвергнуть гидролизу (терпены, витамины).

По другой классификации их делят на:

  • двухкомпонентные или простейшие;
  • многокомпонентные или сложнейшие.

Простейшие жиры находятся в растениях, а сложные больше характерны для животных и людей. Эти вещества играют важную роль в их жизнедеятельности и отличаются разнообразием.

Свойства

Вещества обладают рядом характерных свойств, которые зависят от количества молекул спирта в них и от того, насколько насыщенные их кислоты:

  • Устойчивы к водороду, т.е. не распадаются в воде и других растворителях. Иногда, в зависимости от составляющих полярных групп, они могут взаимодействовать с последними.
  • Температура плавления жиров зависит от количества тесных связей в составе входящих в них кислот. Чем из больше, тем сильнее снижается необходимая для плавки температура. Если в составе присутствуют насыщенные ВЖК, они по внешнему виду твердые, а если кислот больше ненасыщенных, то они будут жидкими.
  • При взаимодействии с определенными группами растворителей, жиры равномерно распределяются по раствору.
  • Свойства липидов всегда характеризуются характером и свойствами их составных частей — молекул кислоты и спирта.
  • Если молекулы богаты кислотами ненасыщенными – они имеют свойство притягивать молекулы водорода к себе.

Состав

Жиры обладают крайне разнообразными веществами в своем составе, начиная со спиртов и заканчивая огромным числом кислот.

В зависимости от преобладания того или иного элемента, меняются и свойства липидов.

Точного ответа на вопрос «Какие вещества относятся к липидам?» нет, поскольку в их составе присутствуют:

спирты, углерод, кислоты, кислород, водород, фосфорные кислоты, углеводы. азотистые основания.

Кроме этого, в небольших количествах содержатся редкоземельные химические элементы.

Важно! Простые молекулы в своем составе имеют только водород, кислород и углерод.

Роль молекул

Как важные химические элементы, данные вещества играют огромную роль в жизнедеятельности молекул, а также более сложных организмах. В зависимости от своего состава, они выполняют разные функции, каждая из которых крайне важна. Какие функции выполняют в организме людей и животных?

В клетке

Прежде чем говорить о сложных структурах, следует поговорить о клетке. Это базовая единица, с которой и начинается формирование всего организма, независимо от его размеров и сложности. В клетке липиды обязательно присутствуют, как элементарные химические связи. Липиды и их роль в жизнедеятельности клетки сложно недооценить, ведь они выполняют несколько важных функций:

  • резервно-энергетическую – накапливаются в виде запасов энергии, и содержат до 35% от ее общего количества;
  • структурную – принимают активное участие в формировании мембран для всех тканей и органов;
  • сигнальную – обладают свойствами рецепторов и улавливают появление бактериальных токсинов;
  • защитную – защищают от механических повреждений и воздействия холодных температур.

Все перечисленные функции невероятно важны, и в клетке выполняют их молекулы жира. Среди них, незаменимыми считаются те, которые состоят из непредельных кислот, поскольку помогают образовывать простагландины – молекулы-регуляторы жизнедеятельных процессов.

В человеке

В целом, жиры выполняют в тканях и органах людей те же функции. Каковы же они? Их роль крайне обширна:

  1. Находятся в составе всех органов — до 70 % в тканях головного мозга, способствуя его электровозбудимости.
  2. Частично присутствуют в миелиновых нервных оболочках, печенке и сердце.
  3. Принимают участие в обезвреживании токсинов при инфекционных заболеваниях.
  4. Принимают участие в активизации протромбина.
  5. Играют важную роль в формировании и усвоении белка.
  6. Удаляют переизбыток холестерина с поверхностей клеток.
  7. Помогают красным кровяным тельцам становится более устойчивыми к гемолизу.
  8. Изолируют нервные окночания и защищают их от механических повреждений.
  9. Принимают роль в перемещении по телу нервных импульсов.

Таким образом, сложно недооценить их роль для человека.

Они поступают в составе некоторых продуктов и синтезируются печенью самостоятельно, за исключением некоторых кислот, которые следует обязательно употреблять с пищей.

В организме животных

Нейтральные жиры — это огромный источник энергии для печени, почек и мышц.

Биологические функции липидов обширны:

  1. Структурная. Определенный вид компонентов – фосфолипиды, кооперируясь с белком, могут строить перегородки, а также принимают участие в строительстве тканей.
  2. Энергетическая. Когда жиры окисляются и распадаются, появляется энергия, которая используется телом для его нужд. Они обеспечивают до 40% энергии от общего количества всего энергетического запаса тела, ведь во время расщепления 1 г жира в организм попадет около 9,3 ккал тепла, что намного выше, чем при распаде углеводов и белков. В момент голодания именно они являются источником сил и энергии, поэтому в случае недостатка питания они расщепляются. Перед этим жиры своевременно запасаются в различных органах и всех тканях, чтобы при необходимости расщепиться. Во время спячки именно они обеспечивают жизнеспособность животного.
  3. Теплоизоляционная. Вещества откладываются в прослойке вокруг органов и между кожей, и сохраняют внутри них тепло. Именно эта функция позволяет животным жить даже в арктических условиях, поскольку их органы полностью защищены от губительного воздействия внешней среды.
  4. Сигнальная. Молекулы переносят важные сигналы внутри клетки и за ее пределы. За эту функцию отвечают фосфатидилинозитолы, эйкозаноиды и гликолипиды. Они имеют способность связываться с гормонами, и тем самым обеспечивать передачу информации по организму. Следует помнить, что эти вещества могут и не иметь в своем составе данных компонентов, поскольку они крайне многообразны по своему составу.
  5. Защитная функция липидов. Откладываясь вокруг органов, эти вещества защищают их от механических повреждений, например, во время беременностей у самок жиры концентрируются в области живота, чтобы при необходимости защитить плод от ударов и других внешних воздействий. А вот фосфолипиды могут активировать белки и прочие гормоны, которые участвуют в свертывании крови, что также защищает тело животного от повреждений и вовремя останавливает кровотечение.
  6. Смазывающая и водоотталкивающая. Кожа, шерсть и перья имеют слой воска, который позволяет им оставаться эластичными. Кроме этого он препятствует попаданию влаги внутрь ворсинок и защищает от влаги перья и шерсть.
  7. Регуляторная. В состав этих веществ входят половые гормоны (тестостерон и прогестерон), которые участвуют в процессах размножения и в пищеварения.

Основная функция, из указанных выше — это защитная функция липидов и теплоизоляционная. Единственная отсутствующая – это ферментативная функция, поскольку они не выполняют никакой роль в усилении химических реакций, хотя и участвуют в них. Ферментативную функцию в основном выполняют белки, ускоряя распады всех веществ и прочие химические реакции.

Функции липидов в клетке

Строение и функции липидов



Вывод

При изучении жировых веществ крайне важно понимать, что это – сложные соединения, имеющие в своем составе огромное количество компонентов. Они имеют важное значение для жизнедеятельности любого организма, поэтому входят в состав продуктов питания, могут быть получены дополнительно в виде витаминов, а также применяются в некоторых отраслях промышленности.

Источник: https://uchim.guru/biologiya/kakuyu-funktsiyu-v-kletke-vypolnyayut-lipidy.html

Определение функции

Какую функцию

Определение функции, области задания и множества значений. Определения, связанные с обозначением функции. Определения сложной, числовой, действительной, монотонной и многозначной функции. Определения максимума, минимума, верхней и нижней граней для ограниченных функций.

Определение
Функцией y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.

Множество X называется областью определения функции.
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции (или областью значений).

Область определения функции иногда называют множеством определения или множеством задания функции.

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.

Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.

Графиком функции  f  называется множество пар .

Сложные функции

Определение
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  .

Сложную функцию также называют композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие.

Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики.

Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции.

При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора .

Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция – это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.

Действительная или вещественная функция – это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.

Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.

Максимумом M (минимумом m) функции f, на некотором множестве X называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .

Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0:
для всех . Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:

.

Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Определения возрастающей и убывающей функций
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
. Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство: .

Определение монотонной функции
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   .
При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функцией.

Многозначная функция – это совокупность функций, определенных на некотором множестве.

Ветвь многозначной функции – это одна из функций, входящих в многозначную функцию.

Однозначная функция – это функция.

Использованная литература: О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/opredelenie-funktsii/

Функции в языке Си : вызов функции, возвращаемое значение

Какую функцию
 

Функция — это самостоятельная единица программы, которая спроектирована для реализации конкретной подзадачи. Функция является подпрограммой, которая может содержаться в основной программе, а может быть создана отдельно (в библиотеке).

Каждая функция выполняет в программе определенные действия.

Сигнатура функции определяет правила использования функции.

Обычно сигнатура представляет собой описание функции, включающее имя функции, перечень формальных параметров с их типами и тип возвращаемого значения.

Семантика функции определяет способ реализации функции. Обычно представляет собой тело функции.

Определение функции

Каждая функция в языке Си должна быть определена, то есть должны быть указаны:

  • тип возвращаемого значения;
  • имя функции;
  • информация о формальных аргументах;
  • тело функции.

 Определение функции имеет следующий синтаксис:ТипВозвращаемогоЗначения ИмяФункции(СписокФормальныхАргументов){   ТелоФункции;  …

  return(ВозвращаемоеЗначение);

}

Пример: Функция сложения двух вещественных чисел

float function(float x, float z){

  float y;

  y=x+z;

  return(y);

}

В указанном примере возвращаемое значение имеет тип float. В качестве возвращаемого значения в вызывающую функцию передается значение переменной y. Формальными аргументами являются значения переменных x и z.

Если функция не возвращает значения, то тип возвращаемого значения для нее указывается как void. При этом операция return может быть опущена. Если функция не принимает аргументов, в круглых скобках также указывается void.

Различают системные (в составе систем программирования) и собственные функции.

Системные функции хранятся в стандартных библиотеках, и пользователю не нужно вдаваться в подробности их реализации. Достаточно знать лишь их сигнатуру. Примером системных функций, используемых ранее, являются функции printf() и scanf().

Собственные функции — это функции, написанные пользователем для решения конкретной подзадачи.

Разбиение программ на функции дает следующие преимущества:

  • Функцию можно вызвать из различных мест программы, что позволяет избежать повторения программного кода.
  • Одну и ту же функцию можно использовать в разных программах.
  • Функции повышают уровень модульности программы и облегчают ее проектирование.
  • Использование функций облегчает чтение и понимание программы и ускоряет поиск и исправление ошибок.

 С точки зрения вызывающей программы функцию можно представить как некий «черный ящик», у которого есть несколько входов и один выход. С точки зрения вызывающей программы неважно, каким образом производится обработка информации внутри функции. Для корректного использования функции достаточно знать лишь ее сигнатуру.

Вызов функции

Общий вид вызова функции

Переменная = ИмяФункции(СписокФактическихАргументов);

Фактический аргумент — это величина, которая присваивается формальному аргументу при вызове функции. Таким образом, формальный аргумент — это переменная в вызываемой функции, а фактический аргумент — это конкретное значение, присвоенное этой переменной вызывающей функцией. Фактический аргумент может быть константой, переменной или выражением.

Если фактический аргумент представлен в виде выражения, то его значение сначала вычисляется, а затем передается в вызываемую функцию. Если в функцию требуется передать несколько значений, то они записываются через запятую. При этом формальные параметры заменяются значениями фактических параметров в порядке их следования в сигнатуре функции.

Возврат в вызывающую функцию

По окончании выполнения вызываемой функции осуществляется возврат значения в точку ее вызова. Это значение присваивается переменной, тип которой должен соответствовать типу возвращаемого значения функции.

Функция может передать в вызывающую программу только одно значение.

Для передачи возвращаемого значения в вызывающую функцию используется оператор return в одной из форм:

return(ВозвращаемоеЗначение);

return ВозвращаемоеЗначение;

Действие оператора следующее: значение выражения, заключенного в скобки, вычисляется и передается в вызывающую функцию. Возвращаемое значение может использоваться в вызывающей программе как часть некоторого выражения.

Оператор return также завершает выполнение функции и передает управление следующему оператору в вызывающей функции. Оператор return не обязательно должен находиться в конце тела функции.

Функции могут и не возвращать значения, а просто выполнять некоторые вычисления. В этом случае указывается пустой тип возвращаемого значения void, а оператор return может либо отсутствовать, либо не возвращать никакого значения:

Пример: Посчитать сумму двух чисел.

1234567891011121314151617

18

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // для возможности использования scanf
#include 
// Функция вычисления суммы двух чисел
int sum(int x, int y) // в функцию передаются два целых числа{

  int k = x + y;  // вычисляем сумму чисел и сохраняем в k

  return k;       // возвращаем значение k}

int main()

{

  int a, r;      // описание двух целых переменных

  printf(“a= “);
  scanf(“%d”, &a); // вводим a
  r = sum(a, 5);    // вызов функции: x=a, y=5
  printf(“%d + 5 = %d”, a, r); // вывод: a + 5 = r
  getchar(); getchar(); // мы использовали scanf(),
  return 0;  // поэтому getchar() вызываем дважжы}Результат выполнения

В языке Си нельзя определять одну функцию внутри другой.

В языке Си нет требования, чтобы семантика функции обязательно предшествовало её вызову. Функции могут определяться как до вызывающей функции, так и после нее. Однако если семантика вызываемой функции описывается ниже ее вызова, необходимо до вызова функции определить прототип этой функции, содержащий:

  • тип возвращаемого значения;
  • имя функции;
  • типы формальных аргументов в порядке их следования.

 Прототип необходим для того, чтобы компилятор мог осуществить проверку соответствия типов передаваемых фактических аргументов типам формальных аргументов. Имена формальных аргументов в прототипе функции могут отсутствовать. Если в примере выше тело функции сложения чисел разместить после тела функции main, то код будет выглядеть следующим образом:123456789101112131415161718

19

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // для возможности использования scanf
#include 
int sum(int, int);   // сигнатура
int main(){

  int a, r;

  printf(“a= “);
  scanf(“%d”, &a);
  r = sum(a, 5);    // вызов функции: x=a, y=5
  printf(“%d + 5 = %d”, a, r);  getchar(); getchar();

  return 0;

}

int sum(int x, int y) // семантика

{

  int k;

  k = x + y;

  return(k);

Рекурсивные функции

Функция, которая вызывает сама себя, называется рекурсивной функцией.

Рекурсия — вызов функции из самой функции.

Пример рекурсивной функции — функция вычисления факториала.

1234567891011121314151617

18

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS // для возможности использования scanf
#include 
int fact(int num)  // вычисление факториала числа num{

  if (num 

Источник: https://prog-cpp.ru/c-functions/

Что такое функция в математике

Какую функцию

Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.

Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч.

То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час.

Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа?».

Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа, нужно 60 умножить на 2. Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км.

Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч.

Сколько времени двигается автомобиль Сколько км проедет автомобиль
1 час 60 км
2 часа 120 км
3 часа 180 км

Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.

Обозначим за «x» время автомобиля в пути.

Обозначим за «y» расстояние, пройденное автомобилем.

Запишем зависимость «y» (расстояния) от «x» (времени в пути автомобиля).

y = 60 · x

Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.

Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч. То есть подставим в формулу «y = 60 · x» значение x = 1.

y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час. Это совпадает с нашими расчетами ранее.

Теперь рассчитаем для x = 2.
y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа.

Теперь вместо «y» запишем обозначение «y(x)». Такая запись означает, что «y» зависит от «x».

Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:

y(x) = 60x

Запомните!

Функцией называют зависимость «y» от «x».

  • «x» называют переменной или аргументом функции.
  • «y» называют зависимой переменной или значением функции.

Запись функции в виде «y(x) = 60x» называют формульным способом задания функции.

Конечно, нужно понимать, что функция «y(x) = 60x» — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.

Примеры других функций:

  • y(x) = 2x
  • y(x) = −5x + 2
  • y(x) = 12×2−1

Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция («y») от её аргумента («x»).

Способы задания функции

Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .

Задание функции формулой

Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента «x» найти значение функции «y».

Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.

y(x) = 32x + 5

Найдем значение функции «y» при x = 0. Для этого подставим в формулу вместо «x»
число «0».

Запишем расчет следующим образом.

y(0) = 32 · 0 + 5 = 5

Таким же образом найдем значения «y» при x = 1 и при x = 2.

Найдем значение «y» при x = 1.

y(1) = 32 · 1 + 5 = 37

Теперь найдем значение «y» при x = 2.

y(2) = 32 · 2 + 5 = 64 + 5 = 69

С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля «y(x) = 60x».

Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений «y» для произвольно выбранных значений «x».

Рассмотрим функцию

y(x) = −x + 4

Найдем значения «y» при x = −1, x = 0 и x = 1.

Важно!

Будьте внимательны, когда подставляете значение «x» в функцию,
у которой перед «x» есть минус.

Нельзя терять знак минуса, который стоит перед «x».

При подстановки отрицательного числа в функцию вместо «x» обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.

Подставим в функцию «y(x) = −x + 4» вместо «x» отрицательное число «−1».

Правильно

Теперь для функции «y(x) = −x + 4» найдем значения «y» при x = 0 и x = 1.

y(0) = −0 + 4 = 4

y(1) = −1 + 4 = 3

Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции «y(x) = −x + 4».

Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.

Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1».

Найдем несколько значений «y» для произвольных «x». Например, для x = −1,
x = 0 и x = 1.

Результаты запишем в таблицу.

x Расчет
−1 y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3
0 y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1
1 y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1

Каждая пара значений «x» и «y» — это координаты точек по оси «Ox» (абсцисса точки) и «Oy» (ордината точки) соответственно.

Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.

Имя точки x y
(·) A −13
(·) B 0 1
(·) C 1 −1

Отметим точки А(−1;3), B(0;1) и С(1;−1) на прямоугольной системе координат.

Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции «y(x) = −2x + 1».

Запомните!

График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо «x».

Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо «x».

Полученный график функции «y(x) = −2x + 1» это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.

При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.

Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages/function/what_is_math_function.php

Числовые функции

Какую функцию

Функ­ци­ей на­зы­ва­ет­ся закон f, по ко­то­ро­му каж­до­му эле­мен­ту x∈X ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент y.

1.  (гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

2.  (функ­ция об­рат­ная про­пор­ци­о­наль­ность, гра­фик функ­ции – ги­пер­бо­ла);

3.  (ли­ней­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – пря­мая);

4.  (квад­ра­тич­ная функ­ция, гра­фик функ­ции – па­ра­бо­ла);

5.  (гра­фик функ­ции – ветвь па­ра­бо­лы);

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Функ­ций много, но все за­да­ют­ся по пра­ви­лу: каж­до­му эле­мен­ту  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ный эле­мент .

На­при­мер, для функ­ции   при .

По­ня­тие функ­ции яв­ля­ет­ся важ­ней­шим в ма­те­ма­ти­ке. Важны все эле­мен­ты, за­да­ю­щие функ­цию.

Мно­же­ство всех до­пу­сти­мых зна­че­ний ар­гу­мен­та  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся . E(f) – об­ласть зна­че­ния.

В слу­чае, когда , функ­цию на­зы­ва­ют чис­ло­вой.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние есте­ствен­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции (так го­во­рят, если мно­же­ство  не за­да­но).

1. .  Ответ: .

2. .  Ответ: , т.к. нель­зя де­лить на 0.

3. .  Ответ: , т.к. нель­зя из­вле­кать квад­рат­ный ко­рень из от­ри­ца­тель­ных чисел.

4. .  Ответ: .

5. .  Ответ: .

6. .  Ответ: .

Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – важ­ней­ший эле­мент функ­ции. Если при за­да­нии функ­ции мно­же­ство   не за­да­но, то об­ласть опре­де­ле­ния счи­та­ет­ся есте­ствен­ной, т.е. сов­па­да­ю­щей с об­ла­стью опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния .

При­ме­ры.

1. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ:  (есте­ствен­ная об­ласть опре­де­ле­ния).

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла (см. Рис.1).

2. Найти об­ласть опре­де­ле­ния и по­стро­ить гра­фик функ­ции . 

Ответ: .

Гра­фи­ком функ­ции яв­ля­ет­ся часть па­ра­бо­лы (см. Рис.2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции . 

Об­ласть опре­де­ле­ния все­гда при­сут­ству­ет при за­да­нии функ­ции: то ли в явном виде, то ли счи­та­ет­ся есте­ствен­ной об­ла­стью опре­де­ле­ния.

3. Область значений функции

При из­ме­не­нии ар­гу­мен­та из об­ла­сти опре­де­ле­ния функ­ции зна­че­ния функ­ции ме­ня­ют­ся на своем мно­же­стве.

Все зна­че­ния, ко­то­рые при­ни­ма­ет за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, об­ра­зу­ют об­ласть зна­че­ний функ­ции, ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на на­хож­де­ние об­ла­сти зна­че­ний функ­ции.

1. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 1.

2. ,  ; . Ответ: . См. Рис. 2.

Рис. 3.

4. Основные свойства 

Рас­смот­рим функ­цию  и «про­чтем» её гра­фик (см. рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции

1.  – про­ек­ция на ось ;

2.  – про­ек­ция на ось ;

3.  – корни (нули функ­ции);

4. ;

5. .

В целом функ­ция не мо­но­тон­на. Рас­смот­рим про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти.

6. воз­рас­та­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «в горку»);

7. убы­ва­ет при , то есть боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (мо­но­тон­ность «под горку»).

Возрастающая функция

Рис. 2. Гра­фик воз­рас­та­ю­щей функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию  на­зы­ва­ют воз­рас­та­ю­щей на мно­же­стве , если для любых  и  из мно­же­ства , таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 2).

Убывающая функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют убы­ва­ю­щей на мно­же­стве , если для любых   мно­же­ства, таких, что , вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство.

Разъ­яс­не­ние: боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции (см. рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик убы­ва­ю­щей функ­ции

Ограниченная снизу функция

Рис. 4. Гра­фик огра­ни­чен­ной снизу функ­ции

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной снизу на мно­же­стве , если все зна­че­ния функ­ции на мно­же­стве боль­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство ) (см. рис. 4).

Ограниченная сверху функция

Опре­де­ле­ние. Функ­цию на­зы­ва­ют огра­ни­чен­ной свер­ху на мно­же­стве, если все зна­че­ния функ­ции мень­ше неко­то­ро­го числа (иными сло­ва­ми, если су­ще­ству­ет число  такое, что для лю­бо­го зна­че­ния  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство  ) (см. рис. 5).

Рис. 5. Гра­фик огра­ни­чен­ной свер­ху

Наименьшее значение функции

Рис. 6. Гра­фик и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1. В су­ще­ству­ет такая точка , что .

2. Для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет  , то она огра­ни­че­на снизу (см. рис. 6).

Наибольшее значение функции

Опре­де­ле­ние. Число  на­зы­ва­ют наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции  на мно­же­стве , если:

1) в су­ще­ству­ет такая точка , что ;

2) для всех вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство .

Ясно, что, если у функ­ции су­ще­ству­ет , то она огра­ни­че­на свер­ху (см. рис.7).

Рис. 7. Гра­фик и наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

Понятие выпуклой функции

Функ­ция вы­пук­ла вниз на мно­же­стве  (кри­вая под от­рез­ком) (см. рис.8).

Рис. 8. Гра­фик вы­пук­лой вниз функ­ции

Рис. 9. Гра­фик вы­пук­лой вверх функ­ции

Функ­ция вы­пук­ла вверх на мно­же­стве (кри­вая над от­рез­ком) (см.рис. 9).

Понятие непрерывной функции

Рис. 10. Гра­фик непре­рыв­ной на от­рез­ке функ­ции

Непре­рыв­ность функ­ции на про­ме­жут­ке озна­ча­ет: гра­фик сплош­ной, без про­ко­лов и скач­ков (см. рис.10).

Рис. 11. Гра­фик функ­ции

При­мер функ­ции, ко­то­рая не яв­ля­ет­ся непре­рыв­ной (см. рис. 11):

.

.

Пример конкретной функции

По­стро­ить гра­фик функ­ции  и «про­честь» его, ука­зать .

Ре­ше­ние. Гра­фик функ­ции на рис. 12.

 .

Ответ: 1) ;

2) ;

3)  воз­рас­та­ет при ;

4)  убы­ва­ет при ;

5) .

Рис. 12. Гра­фик функ­ции

Источник: http://ya-znau.ru/znaniya/zn/120

Функции и графики

Какую функцию

К оглавлению…

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости – первые две формулы, для трехмерной системы координат – все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х), при которых функция определена, т.е. ее значение существует.

Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием.

 Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

График линейной функции

К оглавлению…

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

График квадратичной функции (Парабола)

К оглавлению…

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0).

Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c).

График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p – на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q – на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

К оглавлению…

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота – это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

К оглавлению…

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x). Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: A, k, b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций – это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Источник: https://educon.by/index.php/materials/math/funkcii

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.